参数方程与普通方程的互化1
它们可以相互转化。将曲线的参数方程化为普通方程，可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等;而将普通方程化为参数方程，可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标，从而给研究曲线的有关问题带来方便。
1.消去参数的一般方法：
⑴利用解方程的技巧求出参数的表示方法，然后代入消去参数;
⑵利用三角恒等式消去参数;
⑶根据参数方程本身的结构，选用灵活的方法从整体上消去参数。
2.常见的消参关系式
⑴ ; ⑵ sin2θ +cos2 θ = 1;
⑶ ; ⑷。
3.要注意运用已有的知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。参数的选取要使它和x，y之间具有明显的函数关系，且以容易列出相应的解析式为宜。
4.将参数化为普通方程时，要注意防止变量 x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的实际意义所确定的取值范围，来确定函数f(t)和g(t)的值域，即x 和y 的范围。
5.不是所有的参数方程都能化成普通方程。
参数方程与普通方程的互化2
【例1】
【变式与拓展】.参数方程 ( 为参数)表示什么曲线?
解：(1) ，这是以(1，1)为端点的一条射线(包括端点);
【例2】将参数方程 ( 为参数)化为普通方程，并指出它表示什么曲线.
解：∵ ，
∴ ，即 ，它表示双曲线.
【变式与拓展】.参数方程 ( 为参数)的普通方程是_______，表示的曲线是________.
，双曲线的右支
【例3】;分别在下列两种情况下，把参数方程 化为普通方程：
(1) 为参数， 为常数;(2) 为参数， 为常数;
.解：(1)当 时， ，即 ;
当 时， 而 ，即 (2)当 时， ， ，即 ;
当 时， ， ，即 ;
当 时，得 ，即 得 即 。
点评：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化
【变式与拓展】根据下列条件研究参数方程 表示何种曲线
(1) 为参数，t为常数
(2) 为常数，t为参数
解(1)表示是以(2，-1)为圆心半径为t的绝对值的圆。
(2)表示过定点(2，-1)的直线。
把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：
( 为参数).
利用sin2θ +cos2 θ = 1;消去参数 ， ，这是抛物线的一部分
参数方程与普通方程的互化3
一、选择题(本大题共5小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填写在每小题后面的括号中)
1.若 0 ≤ θ ≤ ，则方程 表示的曲线是(B )
A.圆 B.四分之一圆 C.上半圆 D.下半圆
2.下列参数方程(t是参数)与普通方程 x2 −y = 0表示同一曲线的方程是(D )
A. B. C. D.
3.参数方程(t是参数)表示的图形为(C. )
A.直线 B.圆 C.线段 D.椭圆
4.曲线的参数方程为(0 ≤ t ≤5)，则曲线是(A )
A.线段 B.圆弧 C.射线 D.双曲线的一支
5.若圆C和圆( θ是参数)关于直线( t是参数)对称，则圆C的方程是(C )
A.(x +2)2 +(y −7)2 = 4 B.(x +3)2 +(y −8)2 =16
C.(x +2)2 +(y −7)2 = 16 D.(x +1)2 +(y −8)2 =16
二、填空题：本大题共5小题，请把答案填在横线上
6椭圆 的长轴上两个顶点的坐标是__(-1，2) (3，2)________
7双曲线 的两条渐进线的夹角大小为__ _________
8参数方程 ( 为参数)的普通方程是___ ____________.
9.参数方程 ( 为参数)的普通方程是___ _______.
10已知圆C的参数方程为 ( 为参数)，P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是. 或
三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
11 化下列参数方程为普通方程.
(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案.)
略解 (1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，
所以 (x+1)2+y=1，(0≤y≤1).
所以x2-y2=4.
12 分析： 由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x，y满足的方程2x2+3y2=12表示x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢? 解 ， ，
.
评析:利用椭圆的参数方程，设出点P的坐 称为“参数转化”
13求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值.
略解 14在方程 ( 为常数).(1)当 为参数， 为常数时，方程表示什么曲线?
(2)当 为参数， 为非零常数时，方程表示什么曲线?
解：(1)记 ，
由 ，消去 得
，
∵ 不同时为零，∴方程表示一条直线.
(2)由 得
，
即 ，
∵ 为非零常数，∴方程表示一个圆.
15过点 作倾斜角为 的直线与曲线 相交于 两点，求 的最小值及相应的 值.
解：设直线方程为 ，代入 ，得
.
设M、N对应的参数为 ，则
.
∵直线与曲线相交，
∴ ，即 ，
所以当 时， 有最小值 ，此时 或 .
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