函数的对称性与最值

函数的对称性与最值(一)
函数对称性求最值

（2010崇一）25．已知抛物线yax2bx1经过点A（1，3）和点B（2，1）．

（1）求此抛物线解析式；

（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE

倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

（2010顺二）25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc经过A（2，0）、B（4，

0）两点，直线y1

2x2交y轴于点C，且过点D(8,m)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使CPDP的值最小，求出点P的坐标；

（3）将抛物线yx2bxc左右平移，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点

为B'，当四边形A'B'DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC周长的最小值．

（2012东一）25. 如图，在平面直角坐标系xOy中,

二次函数y

交于A（-1,0）、B（3,0）两点, 顶点为C.

(1) 求此二次函数解析式；

(2) 点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l

：y2xbxc的图象与x轴2BD于点E，过【函数的对称性与最值】

点B作直线BK∥AD交直线l于K点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若M、连结DN、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，NM、

MK，求DNNMMK和的最小值

.

（2011平一）25．已知：抛物线ykx223(2k)xk2k经过坐标原点．

（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；

（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，

并求出点P的坐标；

（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标．

（2009）25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为A6,0，

B

6,0，C0,，延长AC到点D,使CD=1

2AC,过点D作DE∥AB交BC的延长

线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B

点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出

发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

函数的对称性与最值(二)
函数的对称性

专题一 函数的奇偶性、周期性、对称性

时间：9月底

函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，它们准确刻划了函数自身的规律性，因此掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。本专题先回顾奇偶性、周期性再学习对称性，再探究对称性、奇偶性、周期性的关系。

知识要点：

一、函数的奇偶性

1、定义：

2、特征：

二、函数的周期性

1、定义：

2、常见抽象周期函数形式：

（1）f(xa)f(x) （2）f(xa)1 f(x)

（3）f(xa)11f(x) （4）f(xa) f(x)1f(x)

1

f(x)1（6）f(x2a)f(xa)f(x)

（5）f(xa)

三、函数的对称性

定理1、函数 yf(x)的图像关于直线xa对称的充要条件是

f(ax即f(2ax)f(x) )f(a )x

推广：函数 yf(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图像关于x

称

定理2、函数 yf(x)的图像关于点a,b对称的充要条件是

f(2ax)f(x)2b

推广：函数 yf(x)满足f(ax)f(bx，则yf(x)的图像关于点)2cab对2

(ab,c)对称 2

显然，奇函数、偶函数是此两定理的特例

四、函数的对称性、周期性的关系

关系1：函数yf(x)有两条对称轴xa，xb时，那么该函数必是周期函数 T2ba

关系2：函数yf(x)有两个对称中心(a,c)，(b,c)时，那么该函数必是周期函数 T2ba

关系3：函数yf(x)有一个对称中心(a,c)，一条对称轴xb时，那么该函数必是周

期函数 T4ba

题型讲解：

题型一 求函数值

1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为 （ ）

A 1 B 0 C 1 D 2

2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x

f(1)f(2)f

3、设f(x)是(,)上的奇函数，fx2fx，当0x1时，fxx，则

f(7.5)等于 （ ） 1对称，则 2(3)f(4f)A 0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5

题型二 比较大小

1、已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx，设af()，bf()，6

532

5cf()，则 （ ） 2

A abc B bac C cba D cab

2、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,则

（ ）

A f(25)f(11)f ( 8 B f(80)f(11)f(25)

C f(11)f(80)f(25) D f(25)f(80)f(11)

题型三 奇偶性判断

1、定义在R上的非常数函数满足：f(x10)为偶函数，且f(5x)f(5x)，则f(x)

一定是 （ ）

A 是偶函数，也是周期函数 B 是偶函数，但不是周期函数

D 是奇函数，但不是周期函数 C 是奇函数，也是周期函数

题型四 求函数解析式

1、设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，对kZ，用Ik表求区间(2k1,2k1)， 已知当xI0时，f(x)x2，求f(x)在Ik上的解析式

2、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间2,3上，f(x)2(x3)4， 2 求x1,2时，f(x)的解析式

题型五 确定函数图象与x轴交点个数

1、f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间 (0,6)内解的个数的最小值是 （ ） A 5 B 4 C 3 D 2

2、设函数f(x)在（，）上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区

间[0，7]上，只有f(1)f(3)0。

⑴ 试判断函数yf(x)的奇偶性；

⑵ 试求方程f(x)0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论。

题型六 数列中的应用

1、已知数列{an}满足a1

0，an1nN*)，则a20 （ ）

A 0 B

C

D

2

2、在数列{an}中，a13，a24，an2an1an(nN*)，则a100

课后练习：

1、函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则

A f(x)是偶函数 B f(x)是奇函数

C f(x)f(x2) D f(x3)是奇函数

2、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1x)f(1x)，当1x0时，

f(x)1x，则f(8.6)2

3、必修四 第47页 第3题

函数的对称性与最值(三)
函数的对称性

抽象函数图象的对称问题

□安徽 王平定 姚汉兵

关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设yf(x)是定义在R上的函数，若f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x

ab2

对称。

证明：设点A（m，n）是yf(x)图象上任一点，即f(m)n，点A关于直

ab2

线x

的对称点为A'abm，n。

ab2

∵f(abm)fb(bm)f(m)n

∴点A'也在yf(x)的图象上，故yf(x)的图象关于直线x

对称。

二、设yf(x)是定义在R上的函数，则函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x【函数的对称性与最值】

ba2

对称。

证明：设点A（m，n）是yf(ax)图象上任一点，即f(am)n，点A

ba2

关于直线x

的对称点为A'bam，n。

∵f[b(bam)]f(am)n

∴点A'在yf(bx)的图象上

反过来，同样可以证明，函数yf(bx)图象上任一点关于直线x

ba2

的

对称点也在函数yf(ax)的图象上，故函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x

ba2

对称。

说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。 易知，函数yfx





ab

2



ab

2

与yfx





ab

2

的图象关于直线x0对称，

由yfx

【函数的对称性与最值】

的图象平移得到yfx





baab

f(ax)的图象，22

baab

f(bx)22

由yfx

ab

2

的图象平移得到yfx

对称。

的图

象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x

ba2

三、设yf(x)是定义在R上的函数，若f(ax)2cf(bx)，则函数yf(x)的图象关于点

ab

，c

2

对称。

证明：设点Am，n是yf(x)图象上任一点，则f(m)n，点A关于点

的对称点为A'abm，2cn。

ab

，c

2

∵f(abm)2cfb(bm)2cf(m)2cn

∴点A'也在yf(x)的图象上，故yf(x)的图象关于点



ab2



，c



对称

说明：（1）当abc0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设yf(x)是定义在R上的函数，则函数yf(ax)与函数y2cf(bx)的图象关于点

ba

，c

2

对称。

证明：设点A（m，n）是yf(ax)图象上任一点，即f(am)n，点A

ba，c

2

关于点

的对称点为A'bam，2cn

∵2cfbbam2cfam2cn

∴点A'在y2cfbx的图象上

反过来，同样可以证明，函数y2cf(bx)图象上任一点关于点

的对称点在函数yf(ax)图象上。

ba

，c

函数的对称性与最值

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