函数与方程零点问题

函数与方程零点问题(一)
函数零点与方程问题

函数零点与方程问题

乌鲁木齐一中 马仲勋 电话18999969996 邮编 830000

一．概念

1．方程的根与函数的零点

函数零点

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度；

（2）求区间(a，b)的中点x1；

（3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）；

（4）判断是否达到精度；

即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

二．常见题型及思路

函数零点问题主要有刘类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围．五是求函数零点的近似值。六是零点存在性定理。解决这些问题主要用数形结合法．

1. 判断函数f(x)的零点的个数（或求出函数f(x)的零点）

思路：（1）解方程f(x)0，求出该方程的解即可；

（2）通过作出函数yf(x)的图象，数形结合求解.

例1． 填空：（1）函数f(x)2x3x1零点的个数为_____；

（2）方程2x根的个数为_____.

解：（1）解方程f(x)2x3x10，即(2x2)(3x3)0

于是，有2(x1)(xx1)3(x1)0，即(x1)[(2x2x1)0，

由于242(1)0，方程(x1)[(2x2x1)0有三个不同的实数根，故函数f(x)2x3x1有3个零点. 3222233x23

（2）在同一坐标系中分别作出两个函数y2x,yx2的图象，观察两函数图象有3个交点，经过检验，得方程有3个不同的实根x12,x34,x3(1,0). 应填3.

例2． （1）试探究方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)(aR)的实数解的个数.

（2）当a为何值时，方程lnx2xa0在(1,2)内实数解？

x10,3x0,解：（1）由ax(3x)(x1).

或a1时无解； 当a得ax25x3(1x3)，由图象可知当a1341313或1a3时，方程仅有一个实数解；当3a时，方程有两个实数解. 44

（2）原方程可化为lnx2xa，所谓当当a为何值时，方程lnx2xa0在(1,2)内实数解，即求函数方程alnx2x，x(1,2)的值域.

由于函数alnx2x在x(1,2)上是增函数，所以得值域为(2,ln24).

因此，当a(2,ln24)时，方程lnx2xa0在(1,2)内实数解.

2．利用函数零点求解函数解析式

由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式，求解时要结合函数的图象．

例3． 如图所示为f(x)＝x＋bx＋cx＋d的图象，则x1＋x2的值是( )

24A. B.33

816C. D. 39

[解析] 由图象可知，函数图象与x轴交于三点，(－1,0)，

(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点－1,0,2.

由f(0)＝0，得d＝0，故函数解析式可化为f(x)＝x＋bx＋cx＝x(x＋bx＋c)，显然－1,2为方程x＋bx＋c＝0的两根．

－1＋2＝－b，由根与系数的关系，得＝c，－

b＝－1，解得c＝－2.23223222 故f(x)＝x－x－2x. 32

由图象可知，x1，x2为函数f(x)的两个极值点，

又f′(x)＝3x－2x－2，【函数与方程零点问题】

2

故x1，x2为f′(x)＝0，即3x－2x－2＝0的两根，

22故x1＋x2＝x1·x2＝－. 33

22216222故x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1·x2＝－2×－339

[答案] D

3. 估计函数的零点的范围

思路：（1）利用函数图象判断；（2）利用根的存在定理判断. 函数零点的取值范围，即为方程f(x)＝0的根的取值范围，主要利用零点存在性定理解决，可结合函数的图象和性质，根据图象上的一些特殊点灵活处理

例4． 函数f(x)lnx2x3的零点一定位于区间（ ）

（A）(1,2) （B）(2,3) （C）(3,4) （D）(4,5)

解：函数f(x)在(0,)上的图象是连续的， 2

f(1)ln12640,f(2)ln246ln220,

f(3)ln366ln30，f(4)0,f(5)0，

所以，f(2)f(3)0，即函数f(x)的零点在区间(2,3)内，选（B）.

4．由零点个数确定参数的取值范围

思路：根据条件建立不等式求解。根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围，主要利用数形结合的方法，根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式，通过解不等式求解其取值范围．

例5． 已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间[1，1]上有零点，求实数a的取值范围.

解：当a0时，函数yf(x)2x3在区间[1,1]上没有零点，下面讨论a0.

（1）方程f(x)2ax22x3a=0在[1,1] ]上有重根，此时

0，解得

a

当a时，f(x)

0的重根为x[1,1].

当a33时，f(x)

0的重根为x[1,1]. 22

3 2故当方程f(x)0在 [1，1]

上有重根时，a

（2）f(x)在[1,1]上只有一个零点且不是方程f(x)0的重根.

此时有f(1)f(1)0，解得1a5.

当a5时，方程f(x)0在[1,1]上有两个相异实根，故当方程f(x)0在[1,1]上只有一个根且不是重根时，实数a的取值范围是1a5.

（3）方程f(x)0在[1,1]上有两个相异实根. 因为f(x)2a(x1211)a3，其图象的对称轴是x，于是a应满足 2a2a2a

a0,a0,48a(3a)0,48a(3a)0,1（Ⅰ）或（Ⅱ）1 ||1,2a|2a|1,

f(1)0,f(1)0.f(1)0,f(1)0.

解（Ⅰ）得a5.

解（Ⅱ）得a 3[1,).. 2综上所述，实数a

的取值范围是(,

32 例6． 已知函数f(x)＝x－3x－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3

个零点，则m的取值范围为( )

A．(－24,8)

C．[1,8]

2 B．(－24,1] D．[1,8) [解析] f′(x)＝3x－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)，

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－

1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)>0，

函数f(x)单调递增．

所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；

函数与方程零点问题(二)
函数与方程(零点问题)

函数与方程

基础知识

1．函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

2

3.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

4.规律总结

a．辨明三个易误点

(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件．

(3)精确度不是近似值．

b．会用判断函数零点个数的三种方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

c．明确三个等价关系(三者相互转化)

经典例题（理解定义） 1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )

1

A．0，2 B．0，

2

11

C．0，－ D．2，－

22

2．函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中

2＋4点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间为________．

2

3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )

A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)

考点一 函数零点所在区间的确定

6

例1.(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝log2x，在下列区间中，包含f(x)

x

零点的区间是( )

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)

例2.(1)(2015·广东揭阳联考)下列说法，正确的是( )

1

A．对于函数f(x)＝f(－1)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(－1，

x

1)内必有零点

B．对于函数f(x)＝x2－x，因为f(－1)·f(2)>0，所以函数f(x)在区间(－1，2)内没有零点

C．对于函数f(x)＝x3－3x2＋3x－1，因为f(0)·f(2)<0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点

D．对于函数f(x)＝x3－3x2＋2x，因为f(－1)·f(3)<0，所以函数f(x)在区间(－1，3)内有唯一零点

(2)(2013·高考重庆卷)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 ．

考点二 函数零点个数的问题(高频考点)

[规律方法] 判断函数y＝f(x)零点个数的三种常用方法：

(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．

(2)零点存在性定理法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题．(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)

[注意] 若已知f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解

例1.(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )

A．{1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{27，1，3} D．{－27，1，3}

x

a，x≥0，

例2.已知0＜a＜1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k

kx＋1，x＜0，

有两个零点，则实数k的取值范围是________．

．

x

2－1，x≤1，

例3.(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )

1＋log2x，x＞1，

1

A.，0 B．－2，0 21C. D．0 2

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( )

A．0 B．2 C．4 D．6

考点三 与二次函数有关的零点分布

例1. 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．

例2.是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

练习题：

11

1．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f－·f<0，则方程f(x)

22

＝0在[－1，1]内( )

A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根

2．函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是( )

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

3．函数f(x)＝(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)的零点有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．(2015·广东六校联考(一))在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为( )

77

A.，2 B.1，

55

33C.1， D.，2

22

函数与方程零点问题

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