函数视觉看数列的利弊

函数视觉看数列的利弊(一)
从函数角度解决数列问题

从函数角度解决数列问题

数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n｝上的特殊函数,可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征。另外,数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点,因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数有关知识,以它的概念、图象、性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示了它们间的内在联系,从而有效地分解数列问题。

一、以函数概念为载体,合理消化数列问题

通过对数列中的通项公式,前n项和公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析,引导学生充分认识an与n,与之间的对应关系,从而合理地找到解决问题的办法。

此题从形式上看是考查学生对数列的通项的意义的理解,但事实上更侧重于对函数符号及对应关系的考查,解决出答案d。

二、以函数图象为工具,直观简化数列问题

函数图象是函数特征的直观体现,利用图象解决数学问题(以形助数)是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中,我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题,常常会起到意想不到的效果。

例2、在等差数列{an}中,sn是其前n项和,公差为d≠0

(1)若an=m,am=n(m≠n),求am+n

(2)若sm=sn(m≠n),求sm+n

(1)由an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)可知:an是关于n的一次式,则三

函数视觉看数列的利弊(二)
从函数角度看数列

等差、等比数列的综合应用（一）

——从函数角度看数列

一、学习目标：

（1）复习巩固等差、等比数列的相关知识及运算；

（2）从函数角度加深对等差、等比数列的理解，拓宽学生的知识范围和解题思路； （3) 进一步加深对数学知识的结构性和整体性认识，培养问题的转化和知识的迁移能力。 二、学习重难点：

等差数列前n项和的一元二次函数形式的理解和运用。 三、知识回顾：

（1）等差数列：通项an

前n项和Sn

（2）等比数列：通项an

前n项和Sn

总结：

四、例题讲解： 例1：（1）等比数列的前n项和Sn=k·3n＋1，则k的值为__________； -1

（2）在等差数列{an}中，若a10且S5S3，试问这个数列的前几项之和最小？

例2：在等差数列an中，sn是其前n项和，公差为d0.

（1）若an=m，am=n(m≠n)，求amn 0 （2）若SmSn(m≠n)，求Smn 0

思考：已知等差数列Smn，Snm 则Smn。mn

S4【函数视觉看数列的利弊】

例3：设等差数列{an}的前n项和为Sn，且

等比中项，求an。

an1或an

125n

325

13

S3和

14

而S4的等差中项为1，

15

S5是

13

S3和

14

S4 的

例4：数列{an}的前n项和为Sn

12

n2n，数列{bn}满足bn

52

2

an1an

（1）判断数列{an}是否为等差数列； ann

（2）求数列{bn}中的最大项和最小项。 bmaxb33 bminb21

思考：已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn

an1an

，若对任意nN*，都有

bnb8成立，则实数a的取值范围是__________。 (8,7)

五、课堂练习：

1．已知数列｛an｝中，an12或13

2．设等差数列an的前n项和为Sn，已知S5S6,S6S7S8,则在下列结论中正确的是

__________。①②④

①d0 ②a70 ③S9S5 ④S6,S7均为Sn中的最大值

3.已知等差数列an，公差为d，等比数列bn，公比为q(q>１) ，若a2=b2=2，a4=b4。 (1)比较a1与b1，a3与b3的大小；（2）猜想an与bn(n≥ 5)的大小关系。

nn156

2

(n∈N*)，则该数列an的最大项是第__________项。

（1）a1b1，a3b3 （2）anbn 六、课时小结： 七、课后作业

函数视觉看数列的利弊(三)
用函数的观点看数列

用 函 数 的 观 点 看 数 列

温州七中 刘若菡

设计立意及思路：

数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集{1，2，…，n}

上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和

是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学

过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为

今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基

础。

高考考点回顾

1． 与二次函数有关的等差数列的问题

（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项

a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn成立的最大自然数n

是( )

(A) 4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008

（1992年全国高考试题）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12，

S12>0,S13<0。

（1） 求公差d的取值范围

(2)指出S1，S2,...,Sn中哪一个值最大，并说明理由。【函数视觉看数列的利弊】

（2002年上海春季高考题）

设｛an｝(n∈N)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7<

S8,则下列结论错误的是( )

(A)d<0 (B) a7=0 (C) S9>S5 (D) S6与S7均为Sn的最大值

2．与函数的单调性有关的数列问题

（2002年上海卷）

已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，

（1） 求函数f(x)的解析式；

（2） 记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n

的不等式anSn≤0；

（3） （文）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项？若

是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。

（理）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列｛anSn｝中的项？

若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。

3.用函数观点解数列应用题

基础知识梳理：

1. 关于等差数列{an}

(1) 通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成 1）和B（5，1） 4

an=dn+(a1-d)。

它是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。 公差d=ana1是相应直线的斜率。当d>0时，数列递增；当d<0时，数列n1

递减；当d=0时，{an}为常数数列。

n(n1)d,可以写成 2

dd Sn= n2+(a1-)n。 22 （2）求和公式Sn=na1+

它是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。

从函数的角度理解，Sn=na1+n(n1)ddd变形为Sn= n2+(a1-)n。 222

当d≠0时，Sn是关于n的二次式，且常数项为零。此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn的增减变化及最值等问题。

当d=0时，{an}是常数列，Sn=na1,此时，若a1≠0,则Sn是关于n的一次

式；若a1=0,则Sn=0。

2. 关于等比数列{an}【函数视觉看数列的利弊】

通项公式an=a1qn-1,可以写成

an=a1·qn(n∈N*)。 q

a1·qx(x∈R)是一个不q当q>0且q≠1时，y=qx(x∈R)是指数函数，而y=

为0的常数与指数函数的积，因此an=a1·qn(n∈N*)的图象是函数q

y=a1·qx(x R)的图象上的一群孤立点。 q

a1>0,当q>1时，数列递增；当0<q<1时，数列递减。 q很明显，若

例题讲解：

例1 在等差数列{an}中，若a1<0, 且 S5=S13, 试问这数列的前几项之和最小？

思路导引：先让学生猜想等差数列{an}的单调性，学生能预测{an}是首项为负数的递增数列。因此，要找到这个数列中小于零的所有项中的最后一项。而an=a1+(n-1)d，an的值与a1、d有关，所以先由已知条件S5=S13求出a1与d的关系

解法一 设公差为 d ，由 S5=S13, 有 5a+541312d=13a1+d 22

由此得 a1=-17d ，而a1<0, 故d>0,即{an}是首项为负数的递增数列。2

因此，当an≤0且an+1>0时， Sn有最小值，即需 -17d+(n-1)d≤0, 2

171719-d+nd>0, 解得<n≤,即n=9。 222

所以，此数列的前9项之和最小。

思路导引：因为sn是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次函数求最值的方法来求sn的最小值

17d,且d>0,所以 2

n(n1)17ddddn+n2-n=n2-9dn Sn=na1+d=-22222

dd81d= (n2-18n) = (n-9)2-. 222解法二 由解法一已得a1=-

由此可知，当n=9时，Sn最小。

思路导引：既然sn是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，

d已知条件中S5=S13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn= 2

dn2+(a1-)n中，当n=5与n=13时，对应的函数值相等。（教师在画出的2

抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的对称轴位置

d解法三 已知S5=S13，而Sn是n的二次函数（二次项系数>0）,由2

513抛物线的对称性可得其对称轴方程为n==9。 2

所以，当n=9时，Sn最小。

小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。

变式：

（1） 在等差数列{an}中，a1>0，S3=S11，则Sn中最大的是（ ）

(A)S6 (B)S7 (C)S8 (D)S9

（２）（2003年黄岗中学）在等差数列{an}中，已知a1=20，前n

项和为

Sn，且S10=S15

①求前n项和Sn ②当n为何值时，Sn有最大值，并求它的最大值 例2（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )

（A）4005(B)4006(C)4007(D)4008

思路导引：由于解题目标是前n项的和Sn=

从两方面入手。

由已知条件，能否判断本题中等差数列{an}的单调性？（学生能判断）对照例1，可知该数列的前n项和Sn有最值，且当n=2003时取到该值，但n=2003时Sn最大，是否就是本题所要求的答案呢？让学生认识到例1和例2的联系和区别。由n(a1an)n(n1)=na1+d,故可22a1>a2>„a2003>0>a2004> a2005„知，S1S2...S2003虽然S2004<S2003,但是S2004仍然大于零.那么，使前nS2003S2004S2005...,

项和Sn>0成立的最大自然数n是多少呢，能否借鉴例1中所用的函数的思想，数形结合的思想？从而引导学生画出抛物线，判断其对称轴的位置，进而判断出抛物线与x轴的交点的坐标

解法一：由题意可得：等差数列中，

从第1项到第2003项是正数，

且从第2004项开始为负数，

则所有的正项的和为Sn的最大值，

即当n=2003时，Sn取得最大值，

显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数，

且开口向下，所以第2003项离对称轴最近，故其对称轴介于2003到

2003.5

函数视觉看数列的利弊

http://m.zhuodaoren.com/shenghuo284541/

推荐访问:数列的函数特性 数列与函数的关系