条件最值问题拉格朗日函数

条件最值问题拉格朗日函数(一)
拉格朗日乘数法在求解多元最值问题中的应用

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拉格朗日乘数法在求解多元最值问题中的应用

作者：孙军波 蔡小雄

来源：《数学教学通讯·初等教育》2014年第12期

摘 ;要：本文从一道二元最值问题入手，深入思考研究一般性的解法，引进高等数学的拉格朗日乘数法，并通过一些典型例题简要介绍拉格朗日乘数法的运用，为学生解决问题提供一个新的思路.

关键词：拉格朗日乘数法;多元最值;初等应用

多元函数的最值问题是活跃在高考、高校自主招生以及各类数学竞赛中的一项重要内容. 由于该内容大都涉及函数、不等式、线性规划、解析几何等综合知识，问题情境新颖，蕴涵背景深刻，求解方法灵活，因此，考生面对该类问题往往不知所措，解题思路狭窄. 本文通过一些典型例题简要介绍拉格朗日乘数法在求解该类问题中的巧妙运用.

小题引路

例1（2012浙江重点中学协作体高三3月调研）若3x2-xy+3y2=20，则8x2+23y2的最大值是________.

分析：注意到160-8x2-23y2=8（3x2-xy+3y2）-8x2-23y2=（4x-y）2≥0，

所以8x2+23y2最大值为160.

评析：本解法计算简单，但构思巧妙，不易入手. 因此，有必要考虑研究其一般情形，问题的实质是多元的条件极值问题，可以考虑选用拉格朗日乘数法使思路程序化.

问题拓展

一般所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是还有很多极值问题，如例1中的变量x，y不仅要符合它们自身的要求（x∈R，y∈R），而且还需满足条件“3x2-xy+3y2=20”，这类附有约束条件的极值问题其实就是条件极值问题.

条件极值问题的一般形式是在条件组φk（x1，x2，…，xn）=0，k=1，2，…，m（m 在高中阶段遇到这类极值问题时，我们常常借助换元、消元，使用判别式、不等式等方法来求解，主要解决三元以内的问题. 然而，根据条件组（1）有些问题还不能靠上述方法解决.

条件最值问题拉格朗日函数(二)
拉格朗日函数

拉格朗日函数

求极值

求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值

方法（步骤）是：

1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数

2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)

如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值 可求.

条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.

条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m

则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z， 则水箱容积V=xyz

焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy

这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。

这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件

微观中的应用

均衡原则

微观经济学研究消费者行为时，所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。所谓消费者均衡指的是一个有理性的消费者所采取的均衡购买行为。进一步说，它是指保证消费者实现效用最大化的均衡购买行为。【条件最值问题拉格朗日函数】

但人的需要或欲望是无限的，而满足需要的手段是有限的。所以微观经济学所说的效用最大化只能是一种有限制的效用最大化。而这种限制的因素就是各种商品的价格和消费者的货币收入水平。

首先，我们先引入一些名词解释:

总效用(TU):消费者在一定时间内消费一定数量某种商品或商品组合所得到的总的满足。 边际效用(MU):消费者在所有其它商品的消费水平保持不变时，增加消费一单位某种商品所带来的满足程度的增加，也就是说指增加一单位某种商品所引起的总效用的增加。 商品数量(Q)，商品价格(P), 收入(I)

边际效用的公式表达为:MU=∂TU/∂Q

那么如何才能实现在制约条件下效用最大化的商品组合呢？

就是当消费者把全部收入用于购买各种商品时，他从所购买的每一种商品所得到的边际效用与其价格的比例都相同，这样的商品组合就是最佳的或均衡的商品组合。 假设当消费者选择两种商品x,y时，消费者均衡原则的公式表达为:

MUx/Px = MUy/Py("/"为分数线）

制约条件的公式表达式为:I=Px∙Qx+Py∙Qy。那么这一结论是如何推导出来的呢？解决这一问题最直接的方法就是拉格朗日乘数法。

上面说到：在利用偏导数求多元函数的极值时，若函数的自变量有附加条件，则称之为条件极值。这时，可用拉格朗日乘数法求条件极值。具体方法如下:

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即

L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

套用到微观经济学里面：设效用函数U(Qx,Qy),为使它在制约条件下取得极值，首先建立拉格朗日函数:L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px∙Qx-Py∙Qy)，λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件连立。

即

∂L/∂Qx=∂U/∂Qx-λPx=0 ⑴ ∂U/∂Qx=λPx (边际效用的公式表达为:MU=∂TU/∂Q ) ∂L/∂Qy=∂U/∂Qy-λPy=0 ⑵ ∂U/∂Qy=λPy

I-Px∙Qx-Py∙Qy=0 ⑶

将方程⑴除以方程⑵，得:

MUx: MUy=Px: Py

所以，消费者要实现两种商品的效用最大化，边际效用的比率应该等于价格比率。

以上是关于x和y两种商品所说的，是否同样适用于多种商品呢？答案是肯定的。如果消费者在n种商品中做出选择，则消费者均衡的原则可表达为:

MU1 ‗ MU2 ‗ MU3 ‗ … ‗ MUn

P1 P2 P3 Pn

条件最值问题拉格朗日函数(三)
(甘志国)用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值问题

用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值问题

甘志国(已发表于 中学数学杂志，2014(9)：34-36)

1 凸函数的定义及性质

凸函数的定义 当

xI(I

是区间)时，若函数f(x)满足f(x)()0恒成立且

f(x)0的解集是孤立的点集即f(x)是减(增)函数，则f(x)是I上的上(下)凸函数.

例如，f(x)x(01,x0),g(x)logax(a1,x0),h(x)sinx(0x)都是上凸函数.

凸函数的性质1 函数f(x)是区间I上的上凸函数函数f(x)是区间是I上的下凸函数.

凸函数的性质2 (琴生不等式)若函数f(x)是区间I上的上(下)凸函数，则

1n1n

x1,x2,,xnI(n2)，总有fxi()f(xi)，当且仅当

ni1ni1x1x2xn时取等号.

2 与凸函数有关的一类多元函数条件最值

定理1 若f(x)是闭区间[a,b]上的上凸函数，变量x1,x2,,xn[a,b](n2)且

x1x2xn定值s(有nasnb)，则

ss

xxx(1)f(xi)nf，当且仅当1时取等号. 2n

nni1

(2)

nbsnbs

f(x)f(a)n1if(b)babai1

n

n

nbsnbs

fsan1bbaba

(

nbsnbs

表示不超过的最大整数，下同)，当且仅当x1,x2,,xn中有(请注意这里

baba

的“有”并不是“有且仅有”的意思，而是“至少有”的意思，下同)n1个取a或b时取等号，具体的情形是：

①当

nbsnbsnbs【条件最值问题拉格朗日函数】

N时，当且仅当x1,x2,,xn中有个取a，个n1bababa

nbsnbs

an1b时取等号； baba

取b，1个取s

②当取等号.

nbsnbsnbs

N时，当且仅当x1,x2,,xn中有个取a，n个取b时

bababa

定理2 若f(x)是闭区间[a,b]上的下凸函数，变量x1,x2,,xn[a,b](n2)且

x1x2xn定值s(有nasnb)，则

(1)

ss

xxx，当且仅当时取等号. f(x)nf12ninni1

nbsnbsnbsnbs，

f(x)f(a)n1f(b)fsan1ibbabababai1

n

n

(2)

当且仅当x1,x2,,xn中有n1个取a或b时取等号，具体的情形与定理1(2)相同. 由凸函数的性质2立得定理1(1)，由凸函数的性质1及定理1立得定理2，所以下面只

需证明定理1(2).

定理1(2)的证明 当sna时，得x1=x2==xn=a，可得欲证成立；当snb时，得x1=x2==xn=b，也可得欲证成立.下面再证 当nasnb时欲证成立.

先用数学归纳法证明：

若f(x)是[a,b]上的上凸函数，变量

x1,x2,,xn[a,b](n2)且

则当且仅当x1,x2,,xn中有n1个的值是ax1x2xn定值s(有nasnb)，或b时，

f(x1)f(x2)f(xn)取到最小值.

定值s(有

先证n2时成立，即证：

若f(x)是[a,b]上的上凸函数，变量x1,x2满足x1,x2[a,b]且x1x2

2as2b)，则当且仅当x1a,b或x2a,b时，f(x1)f(x2)取到最小值.

设

L(x1,x2,)f(x1)f(x2)(x1x2s)

由拉格朗日乘数法知，函数或满足



f(x1)f(x2)



x1x2s

f(x1)f(x2)的最小值点(x1,x2)在所给区域的边界上

对于后者，由f(x)是[a,b]上的减函数，得

x1=x2

s

，所以得最小值点2

ssss

(x1,x2),.而由定理1(1)知，函数f(x1)f(x2)的最大值点是,，所以函

2222

数

f(x1)f(x2)即f(x1)f(sx1)的值域是单元素集.可得x1能在某个区间上取值，

所以

0(f(x1)f(sx1))f(x1)f(sx1)

f(x1)f(sx1),x1sx1,x1

这与“x1能在某个区间上取值”矛盾！所以前者成立，即x1

得n2时成立.

假设nk(k2)时成立，下证nk1时也成立.即证： 若变量



s 2

a,b或x2a,b.

x1,x2,k,x1[a,b]k(且x12)x2xk1定值s(有

(k1)as(k1)b)，则当且仅当x1,x2,,xk1中有k个的值是a或b时，

. f(xf(kx1取到最小值)1)f(x2)设

L(x1,x2,,xk1,)f(x1)f(x2)f(xk1)(x1x2xk1s)

由拉格朗日乘数法知，函数在所给区域的边界上或满足



f(x1)f(x2)f(xk1)



x1x2xk1s

f(x1)f(x2)f(xk1)的最小值点(x1,x2,,xk1)

对于后者，由f(x)是[a,b]上的减函数，得

x1=x2==xk1=

所以最小值点(x1



s【条件最值问题拉格朗日函数】

k1

sss

,x2,,xk1),,,.而由定理1(1)知，函数

k1k1k1

sss

f(x1)f(x2)f(xk1)的最大值点是,,,，所以函数

k1k1k1

f(x1)f(x2)f(xk1)即f(x1)f(x2)f(xk)+f(sx1x2xk)

的值域是单元素集.可得x1,x2,,xk均能在某个区间上取值，所以

0(f(x1)f(x2)f(xk)+f(sx1x2xk))x1f(x1)f(sx1x2xk)

x1=sx1x2xk x1+(x1x2xk)=s

同理，有

x1+(x1x2xk)x2+(x1x2xk)==xk+(x1x2xk)s

所以

x1x2==xk

s k1

这与“

x1,x2,,xk均能在某个区间上取值”矛盾！所以前者成立，即x1a,b或

x2a,b或或xk1a,b.

可不妨设xk1



a,b，得函数f(x1)f(x2)f(xk1)取到最小值函数

“nk1f(x1)f(x2)f(xk)取到最小值.再由“假设nk(k2)时成立”可得时也成立”.

下面再用已证的结论来证定理1(2).

当

f(x)取最小值时，可设x,x,,x中有m(m0,1,2,,n1)个取a，

i

n

12n

i1

n1m个取b，另1个取sma(n1m)b，所以

asma(n1m)bb

nbsnbs

1m(m0,1,2,,n1) baba

因为nasnb(得0

nbs

n)，所以①显然成立，下证②成立.

ba

此时取等号的条件有两种情形： (i)得x1,x2,,xn中有

nbsnbs

个取a，n1个取b，另1个取baba

s

nbsnbsnbsnbs

n即中有个取，个x,x,,xaan1b=b12nbabababa

取b.

(ii)得x1,x2,,xn中有

nbsnbs

1个取a，n个取b，另1个取baba

nbsnbsnbsnbs

s1anb=a即x1,x2,,xn中有ba个取a，nba

baba

个取b.

欲证②成立. 证毕.

推论 设n(n2)个不小于a的变数x1,x2,,xn之和是定值p(pna).

(1)若函数f(x)(xa)是上凸函数，则f(x1)f(x2)f(xn)的取值范围是



(n1)f(a)f(p(n1)a),nfp



条件最值问题拉格朗日函数

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