证明方程x2-1997x,1997=0无整数根

证明方程x2-1997x,1997=0无整数根(一)
一元二次方程的整数根 课后练习二及详解

学科：数学

专题：一元二次方程整数根问题

主讲教师：黄炜 北京四中数学教师

重难点易错点解析

题一：

题面：已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）

A． 1 B．﹣1 C． 0 D．无法确定

金题精讲

题一：

题面：关于x的一元二次方程x2mx5(m5)0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是（ ）

A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 7

满分冲刺

题一：

2题面：已知4x2ax32a0无实根，且a是实数，

化简

题二：

题面：求证：关于x的方程x(2m3)x3m10有两个不相等的实数根．

2

课后练习详解

重难点易错点解析

题一：

答案：B

详解：根据题意得：(m﹣1)+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．

金题精讲

题一：

答案：B

详解：∵方程x2mx5(m5)0有两个正实数根，

∴x

x1xx2m05(m5)0m5．

12

又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m．

将x1=7－m代入方程x2mx5(m5)0，得(7m)2m(7m)5(m5)0， 解得m=2或m=6．

∵m5，∴m=6．故选B．

满分冲刺【证明方程x2-1997x,1997=0无整数根】

题一：

答案：a+3

详解：方程4x22ax32a0无实根，∴b24ac(2a)244(32a)0，即a28a120,解得2a6,当2a6时，

4a212a9a212a36(2a3)2(a6)22a36aa3. 题二：

答案：原方程有两个不相等的实数根

详解：b24ac(2m3)24(3m1)4m212m912m44m213， ∵4m20，

∴b24ac4m2130，

∴原方程有两个不相等的实数根．

证明方程x2-1997x,1997=0无整数根(二)
讲义-一元二次方程(二)

板块一：课内基础拔高

8．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：

如果ax2bxc0(a0)的两个根是xbc

1，x2，则x1x2ax1x2a

。

【例1】⑴关于x的方程2x2＋kx－4＝10的一个根是-2，则方程的另一根是 ；

k＝。

⑵已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是 _____ ，m的值是___________。

⑶如果方程x2＋mx＝1的两个实根互为相反数，那么m的值为( ) A．0 B．－1 C．1 D．±1

⑷已知方程x2－mx＋45＝0的两实根差的平方为144，则m＝ 。

【例2】设x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，则

①1x1

＝； ②x1x2＝ 1x2

③(x11)(x21)＝【证明方程x2-1997x,1997=0无整数根】

1

【例3】x1、x2是方程x2－3x－5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

⑴x221x2

⑵x212x223x2

【例4】已知x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两根，则4x2112x211的值为。

【例5】已知关于x的方程x2＋2(m＋2)x＋m2－5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和

比这两个根的积大16，求m的值。

【例6】已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0的两个实数根的倒数和等于3，求关于x的方程。

【例7】证明：方程x2－1997x＋1997＝0无整数根。

2

证明方程x2-1997x,1997=0无整数根(三)
求一元二次方程的整数根

求一元二次方程的整数根

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况,可以用根的判别式∆=b2−4ac来判别，但对于它的有理数根、整数根的情况，就没有统一的方法来判别，只能对具体问题寻找具体解题方法.本文约定方程的两根为x1、x2(x1≤x2).

1 直接求解

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用因式分解法变形为a(x−x1)(x−x2)=0的，可直接求出原方程的两根，再对两根进行讨论.

例1 设y=ax2+bx+c.已知：x=1时，y=0;x=-1时，y为偶数.求证：方程x2−(a+b+c)x+ba+bc=0的两个根是整数根.(1993,四川省初中数学竞赛)

证明：将方程x2−(a+b+c)x+ba+bc=0分解为(x−b)(x−a−c)=0.

有 x1=b， x2=a+c.

由x=1，y=0得a+b+c=0；

由x=-1，y为偶数，设y=2n(n为整数)，则a−b+c=2n.

解得b=-n，a+c=n，均为整数.

所以方程x2−(a+b+c)x+ba+bc=0的两个根是整数根.

例2 m是什么整数时，方程(m2−1)x2−6(3m−1)x+72=0有两个不相等的正整数根？(1993，天津市初二数学竞赛决赛)

解：显然m≠±1.原方程可分解为[(m−1)x−6][(m+1)x−12]=0，

有 x1=6

m−1， x2=12m+1

∵ x1，x2为正整数，

∴m−1=1，2，3，6且m+1=1，2，3，4，6，12.解得m=2或m=3.

但m=3时， x1=x2，应舍去.

故m=2为所求.

2 利用判别式

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果∆是关于参数的次数不高于2的多项式时，可利用判别式进行讨论.

例3 设m为整数，且4＜m＜40，又方程x2−2(2m−3)x+4m2−14m+8=0有两个整数根.求m的值及方程的根. (1993，天津市初二数学竞赛决赛)

解：由∆=[−2 2m−3 ]2−4(4m2−14m+8)=4(2m+1)

又因为4＜m＜40，

所以9＜2m+1＜81.

而2m+1为奇数，

故2m+1=52或72.

则m=12或24.

当m=12时， x2−42x+416=0， x1=26，x2=16; 当m=24时，x2− 90x+1976=0， x1=52， x2=38. 例4 求满足方程 y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y).(1995,江苏省数学竞赛)

解：将原方程变形为2x4−4x2y+y4+1=0.

有∆=(−4y)2−8(y4+1)=-8(y2−1)2≥0，

所以(y2−1)2≤0.

故y2−1=0，即y=-1,1.

当y=-1时，原方程无解;

当y=1时，(x2−1)2=0，x=1或-1.

所以，满足原方程的所有整数对是(1，1)、(-1，1). 3 利用韦达定理

设关于x的整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两整数根满足x1+x2=- ，x1x2=- ，b、c能被a整除来aaaabcbc求解.

例 5 若k为正整数，且一元二次方程(k-1)x2−px+k=0的两个根都是正整数，则kpk(pp+kk)+(p+k)的值等于___________.

(1989，武汉市初中数学竞赛(初二))

解：由x1x2=k

k−1k

k−1为正整数.

∴k−1=1，k=2.

有x1x2=2.

∴x1=1，x2=2.

又由x1+x2=p

k−1p=3.

∴kpk(pp+kk)+(p+k)=26(33+22)+(2+3)=1989.

例 6 方程x2+ax+1=b的根是自然数.证明：a2+b2是合数. (第20届全苏数学竞赛)

证明：原方程整理为x2+ax+(1−b)=0，

于是x1+x2=-a，x1x2=1−b.

所以a2+b2=(x1+x2)2+(1−x1x2)2

=x12+2x1x2+x22+1−2x1x2+x12x22

=(1+x12)(1+x22).【证明方程x2-1997x,1997=0无整数根】

因为1+x12≥2，1+x22≥2，

所以(1+x12)(1+x22)为合数，所以a2+b2是合数. 4 构造方程

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果存在整数p，q，r满足p()+q(- =r，则可利用韦达定理，通过构造方程aacbpx1x2+q(x1+x2)=r，可求方程(px1+q)(px2+q)=pr+q2的整数解.

例7 方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992.则方程较大根与较小根的比等于_________.

(1992，北京市初中数学竞赛初二复赛)

解：∵x1+x2=-p，x1x2=q，

∴x1x2−x1−x2= p+q=1992，

(x1−1) x2−1 =1993.

∵1993为质数，

∴x1−1=1， x2−1=1993.

∴x1=2，x2=1994.

故2=997. x1x

例8 求所有的实数k，使方程kx2+(k+1)x+(k−1)=0的根都是整数.(1993，第五届祖冲之杯初中数学竞赛)

解：由韦达定理得

x1+x2=−

x1x2=k−1kk+1k−1− k1k1−.

由x1x2−( x1+x2)=2，

有(x1−1) x2−1 =3，

则x1−1=1，x2−1=3或x1−1=−1，x2−1=−3， 所以x1=2，x2=4或x1=0，x2=−2.

故k1=−或k2=1. 715 利用整数的性质

可以利用奇偶数性质、质数性质、平方数性质解题.

例9 如果方程x2 +2kx+2t−1=0(k与t都是整数)有整数根α，则它的另一个根β必是下列判断的( ).

(A) 不是整数

(B) 是整数，但不能判定奇数或偶数

(C) 是奇数 (D)是偶数

解：由α+β=−2k，β=−2k−α是整数，

又αβ=2t−1是奇数，

∴α，β均为奇数. 故选(C)

例10 方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根 x1、x2，则 px1+1 (x2+1)的值是( ).

1212 (A)1 (B)−1 C − D (1997，北京市初三数学竞赛)

证明方程x2-1997x,1997=0无整数根

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